Her følger beviset for Euklids sætning 1 

Topvinkler er lige store.

Bevis

Trin 1

Vi skal bevise, at topvinkler altid er lige store.

Euklids definition 2 siger, at “når en halvlinje er oprejst på en linje, så de ved siden af hinanden liggende vinkler er lige store, er enhver af de lige store vinkler ret.”  Dermed ved vi, at der sammenlagt er 180 grader eller summen af 2 rette på den ene side af en linje.

Ser vi på ∠ u og ∠ z, så er de altså tilsammen 180 grader.

Ser vi på ∠ z og ∠ v, så er de tilsammen også 180 grader.

Trin 2

Så ∠ u + ∠ z = 180 og ∠ v + ∠ z = 180.

Altså er ∠ u + ∠ z = ∠ v + ∠ z.

Trin 3

Euklids 3 almene love  siger

1. Det hele er lig summen af dets dele.
2. Hvis man lægger det samme til lige store størrelser, fås lige store størrelser. I moderne symbolsprog: a = b medfører a + c = b + c.
3. Hvis man trækker det samme fra lige store størrelser, fås lige store størrelser. I moderne symbolsprog: a = b medfører a – c = b – c.

Benytter vi den 3. almene lov, så kan vi trække z fra på hver side af ∠ u + ∠ z = ∠ v + ∠ z.

Dermed får vi ∠ u = ∠ v.

Så ∠ u og ∠ v er hinandens topvinkler og altid lige store.

Geogebra

Sætning 1 – ggbm.at/PNZftMhC

Litteratur