Den rette linie – et polynomium af første grad

Stikord: Ligefrem proportionalitet. Lineær sammenhæng.

Det generelle udtryk for en ret linie er givet ved:

f(x) = ax + b

Hvad repræsenterer a? Og b? Start fx med at betragte den rette linie y = x. Her er a = 1 og b = 0. Hvordan ser linjen ud?
Prøv dernæst at vælge en anden talværdi for a, så a ≠ 0 og b = 0. Dvs. Tegn grafen y = ax. Vælg igen en ny værdi for a og lad stadig b = 0.
Kan du nu svare på, hvad a repræsenterer?
Hvad med b? Prøv at vælge a = 1 og b ≠ 0. Altså skal vi se på en linje af formen y = ax + b. Tegn grafen. Vælg en ny b-værdi og prøv igen. Kan du nu sige noget om b?

Hint regneark: Lav en kolonne med x-værdier i regnearket, tast formlen i næste kolonnes øverste celle, kopier ned og vupti, tallene er lige til at sætte ind i et diagram.

Hint GeoGebra: Benyt skydere.

Parablen – andengradspolynomiet

Vi skal nu undersøge andengradspolynomiet. Det generelle udtryk for et andengradspolynomium er givet ved:

f(x) = ax² + bx + c

Hvilken betydning har a, b og c for parablens udseende og beliggenhed? Strukturér undersøgelsen! Start med at se på det simpleste andengradspolynomium, altså det hvor a = 1 og b = c = 0, nemlig: y = ax².
Udvid undersøgelsen ved at vælge en a-værdi forskellig fra 1, men stadig b = c = 0. Tegn grafen. Prøv med en negativ værdi for a også. Kan du nu sige noget om a?
Så skal vi have c med. Se først på f(x) = x² + c. Her har vi altså valgt , a = 1, b = 0 og c ≠ 0 (vælg selv en talværdi for c). Tegn grafen. Prøv med andre c-værdier uden at ændre på værdierne for a og b. Kan du sige noget om c’s betydning for grafens udseende? Gælder det også, når fx a har andre værdier end 1?
Hvad med b? Prøv at se på: f(x) = x² + bx (altså vælg en talværdi for b, c = 0 og a = 1). Vælg fx først en positiv værdi for b. Prøv dernæst med den negative værdi af samme tal. Strukturér selv din undersøgelse indtil du mener, du kan sige noget om b.
Gælder det du har fundet ud af også generelt, altså for vilkårligt valgte a, b og c alle forskellige fra 0?

Polynomier af højere grad

Tegn følgende polynomier samt nogle andre efter eget valg:

f(x) = (x – 3)2

f(x) = -5x⁴ + 5x³ + 5x² – 5x + 0.5

f(x) = x³ + 5x² – 10

Undersøg polynomierne: Find polynomiernes nulpunkter (skæringspunkter med x-aksen). Gæt på, hvor mange nulpunkter et n’te gradspolynomium kan have. Hvordan kan du undersøge, om dit gæt er korrekt? Gennemfør undersøgelsen.

Andre funktioner

Afbild flg. funktioner. Hvis der sker noget ”mystisk”, så find ud af hvad og hvorfor. Forklar kurvernes udseende og beliggenhed ud fra graferne og forskrifterne.

f(x) = $\sqrt{x}$