Kapitel 1 – Genoplev kampen med at forstå positionssystemet

Algoritmer: de 4 regningsarter udført efter beskrevne metoder

Positionssystem: Et 10-talsystem.

Fordelen ved positionssystemer er, at det er let at lave symboler for titalspotenser og derved gøre systemet mere overskueligt.

Også regnealgoritmer er en styrke ved positionssystemet. Har regneren forstået princippet med 1´ere, 10´ere etc. kan regneren også regne med meget større tal. (fx 43+65= 40+60 er lig 100 og 3+5 er lig 8. I alt=108).

Konstruér selv et par regnestykker med addition og subtraktion, som lægger op til en strategi i stil med ovenstående eksempel.

Øvelse 1 – ALFABETALAND

Hvad nu, hvis vi talte således:

alfa, beta, gamma, delta, alfem,

alfemalfa, alfembeta, alfemgamma, alfemdelta, betem,

betemalfa, betembeta, betemgamma, betemdelta, gammem …

gammemalfa, gammembeta, gammemgamma, gammemdelta, deltem …

Øvelse

Lav punkterne i øvelse 1 .

Diskutér

Hvad kan I gøre for at imødekomme de udfordringer, som I måske/sandsynligvis er stødt på i jeres arbejde med alfabetasystemet?

Hvordan vil I praktisk tage hånd om det?

Gode værktøjer

Der findes en række fysiske materialer, som man bl.a. kan arbejde med (på skolerne blot i titalsssystemet). Dem kan man præsentere eleverne for.

Der findes også en række online værktøjer. De virker desværre kun i Safari og i Firefox.

nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_152_g_2_t_1.html

nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_154_g_2_t_1.html

nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_155_g_2_t_1.html

Der kan findes flere på nlvm.usu.edu/en/nav/grade_g_2.html

Øvelse 2 – Oversæt fra totalssystemet til titalssystemet

Det binære talsystem – potens

7	6	5	4	3	2	1	0
128	64	32	16	8	4	2	1

I det binære system læser du fra højre mod venstre. Dvs. hvis du skal skrive 10_X så er det i binære tal 1010_II, eller 14_X så er det 1110_II, 15_X er 1111_II. Det næste tal svarer altid til det dobbelte af det førnævnte tal. Dvs. det første er enere, toere, firere, ottere osv. Et 1-tal betyder, at tallet skal tælles med, mens et 0 betyder, at det ikke skal. Man omregner det binære tal til et decimaltal ved at lægge værdien af de repræsenterede tal sammen. Dvs. at 2_X skrives således: 0010_II, mens 7_X skrives således: 0111_II.

Forklaring. I bogen gives et eksempel, hvor man viser 8 ledninger. Blot for at gøre det helt klart, så er det ikke angivet i 8’ne potens, men i 7’ne potens ved den 8’ne ledning. Tænkte, at det måske kunne forvirre.

Øvelse 3 – Omskriv fra de forskellige baser

Base X – Potenser

Først lige et overblik over det, som du sikker allerede ved om titalssystemet, men sikkert har automatiseret. Det kan måske hjælpe, at huske på, at 10 talssystemet jo er sat i et system af 10 i potens. Fra højre mod venstre er det således 10⁰ = 1, 10¹ = 10, 10²=100 osv. På 1’ernes plads skriver man så, hvor mange 1’ere der er og fortsætter på 10’ernes plads osv. 140 er således 1*10² + 4*10¹ + 0*10⁰.

På samme måde er de andre talsystemer sat op i et system af grundtallet i potens.

6	5	4	3	2	1	0
1000000	100000	10000	1000	100	10	1

Base V

Herunder giver jeg et eksempel på, hvordan man kan gå fra base X til base V. Bemærk, at man først skal bestemme den største femmerpotens, der kan hentes ud af 9823. Først har jeg angivet de relevante potenser af 5 i base V. Derefter udregning.

Base V – Potenser

6	5	4	3	2	1	0
15625	3125	625	125	25	5	1

Udregning

Den største potens, som ikke går over er tallet 9823_x er 5⁵ = 3125.

Rest (i base X)	Potens (i base X)	Ciffer/kvotient	Forbrug
9823	3125	3	9375
448	625	0	0
448	125	3	375
73	25	2	50
23	5	4	20
3	1	3	3
0
		Svar: 303243_V

Ekstraopgaver

Dobbeltklik i parenteserne for at se løsningen, når du har omregnet.

Skriv 1234_xi base V. Løsning ( 14414_V)
Skriv 500_xi base V. Løsning (4000_V)
Skriv 7564_xi base VII. Løsning (31024_VII)
Skriv 464_VIIi base II. Løsning (11110010_II)

Øvelse 4 – Baser med grundtal større end 10.

Hex-systemet/16-talssystemet

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	10

Potens

6	5	4	3	2	1	0
16777216	1048576	65536	4096	256	16	1

At ABE+BAD>FED kan ses vha. nedenstående regnestykke, som kan ses ved at markere tabellen med musen.

	1	1	1
		A	B	E
+		B	A	D
	1	6	6	B

Opgave

Omskriv løsningen og FED til base X.

Øvelse 5 – Opstil den lille tabel for addition i femtalssystemet. (Markér tabellen for at se løsningen)

Se evt. videohjælpen længere ned på siden her.

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	10
2	2	3	4	10	11
3	3	4	10	11	12
4	4	10	11	12	13

Det kan være en rigtig god ting at kunne lære sig den lille tabel i talssystemet, hvilket kan ses i nedenstående eksempel.

Lad os sige, at de to tal 243_V og 124_V skal adderes.

Enerne: 3_V + 4_V giver 12_V, hvilket kan ses i tabellen ovenfor.
Femerne: 4_V + 2_V giver 11_V.
Femogtyverne: 2_V + 1_V giver 3_V.

Derefter kan man begynde at “flytte” værdierne.

Enerne: 12_V, er 2 enere og 1 femmer. “Femmeren” sender vi videre til næste position.
Femerne: 11_V + 1 femmer er 2 femmere og 1 femogtyver. “Femogtyveren” sender vi videre til næste position.
Femogtyverne: 3_V+ 1 femogtyver er 4 femogtyvere.

Svaret på, hvad 243_V + 124_V er altså 422_V.

Øvelse 6 – Udregn vha. tabellen

Hent evt. hjælp her.

Øvelse 7 – Beregn multiplikationsstykker

Hent evt. hjælp her.

Øvelse 8 – Opstil den lille multiplikationstabel for femtalssystemet (Markér tabellen for at se løsningen)

x	1	2	3	4
1	1	2	3	4
2	2	4	11	13
3	3	11	14	22
4	4	13	22	31

Øvelse 9 – Multiplikation og om at udfolde regnestykket

Hint! Man gør et tal 10x gange større i ved at gange det med 20_v.

Øvelse 10 – Forklar, hvordan man ganger to tal i femtalssystemet.

Øvelse 11 – Divisionstykker i femtalssystemet.

1102_v: 4_v = 123_v (Hint 4_v, 13_v, 22_v, 31_v …)
2321_v: 12_v= 143_v (Hint 12_v, 24_v, 41_v, 103_v …)
114042_v : 324_v = 143_v (Hint 324, …)

Lav lignende opgaver til hinanden i gruppen.

Øvelse 12 – Kan man let se om 2 og 5 går op?

ikke med 2, men med 5.

Øvelse 13 – Den lille additions- og multiplikationstabel i totalsystemet.

Kapitel 2 – At gange og dividere flercifrede tal

Overvej/diskutér 5

s.32-33 + 36

Mikkel benytter sig af at tælle op og indramme, når han er nået til en 10´er for på denne måde at visualisere.
Freja og Sarah brugte at skiptælle med subtraktion eller addition.
Mads brugte addition.

Overvej/diskutér 6

Tabel-bowling(s.41)

I spillet er det forholdsvis nemt at tilgodese elever differentieret. Elever, der ikke kan multiplicere, har mulighed for at tegne x antal streger på papir og så addere.

Det kommer mest an på, hvordan læreren har lavet mulighed for at tælle. Altså er der mulighed på papiret for at skrive andet end efter hovedregning at skrive resultat eller er der plads til udregninger?

Overvej/diskutér 7

Udsagn:

Nogle elever kan hjælpes med udenadslære, såsom fx at lære den lille tabel udenad, lære addition med tal op til 20.
Andre elever, der har svært ved at lære udenad, bør støtte sig til hjælpemidler, såsom fx lommeregner og oversigtstabel.

Øvelse 1

Med opmærksomhed på divisionsresten.

Måledivision: 81:6 = 13 rest 3. Dvs. at der er nød til at være et bord mere 14 borde.
Ligedeling: 81 personer fordeles mellem 6 borde , hvilket betyder, at der ved 3 af bordene sidder 13 og ved de resterende 3 borde sidder 14.
Måledivision: Deling af 81 m i dele af 6 m, hvor mange stykker= 81:6 = 13 stykker a 6 m (med rest på 3 m, der ikke kan bruges)
Ligedeling: Del 81 m i 6 dele = 81:6 = 13,5
Ligedeling: Deling af 81 stk. kager mellem 6 børn = 13 stk. til hver (med 3 i rest)
Måledivision: 81 kager fordelt i 6 poser giver = 13 poser (med 3 kager i overskud)
Hvor lang kan siden være, når rektangel 6 m x ? m er 81 fliser = 13,5 m.

Fordi tallene er sat i en meningsfyldt kontekst, giver det mening at forholde sig til resten i hver enkelt situation.
Ved at sætte opgaverne i undervisningen i en meningsfyldt kontekst, må det kunne støtte eleven i at se betydningen af resten.

Undersøgelse 1

http://nlvm.usu.edu/en/nav/vlibrary.html

Som der flere gange beskrives i kap.2 har undersøgelser vist at multiplikative situationer kan opdeles i både symmetriske og asymmetriske situationer, hvilket er forholdsvis vanskeligt og ikke mindst ofte abstrakt for eleven. I den danske skole læres traditionelt tabeller som udenadslære og ikke med fokus på en meningsfyldt kontekst. Derved vil elever ikke sjældent opleve tvivl, om hvorvidt der i en given situation skal ganges eller divideres – hvad skal der reelt foretages i opgaven?

En måde at støtte eleven kan være at benytte arealmodellen(rektangel) som udgangspunkt for at arbejde sig frem mod mere skriftlige former. I linket herover arbejdes netop med en visualisering af matematikken. Her kan den enkelte elev udfordres på dennes niveau og få en klar idé om, hvordan tallene forholder sig til hinanden i en arealmodel.

Prøv evt. også:

www.geogebra.org/m/cx76B84s

www.geogebra.org/m/qAtwhfSf

Undersøgelse 2

Generelt står lærebogssystemerne med den udfordring, at de ikke er tilpasset de nye FFM. Det betyder, at systemerne er opbygget ud fra en anden målsætning, end den vi skal arbejde med i dagligdagen.

Kapitel 3 –

Kapitel 4 –

Kapitel 5 – De positive rationale tal

Herunder kan I finde en række af mine forklaringer på, hvordan man kan arbejde med brøker. Det skal ikke så selv, men blot ses, som en måde at gøre det på. Måske kan det hjælpe jer, hvis I sidder lidt fast.

www.youtube.com/user/iundervisningdk

Brøker

Bogens fortolkning af brøker kan kort formuleres således:

En brøk er en ligelig opdeling af en enhed. Vi deler en enhed i b lige store dele. Fx kan vi dele 20 æg i 4 lige store dele, hvilket er 5 æg til hver fjerdedel.
Hver af disse dele kalder vi en b’endedel, hvilket skrives som $\frac{1}{b}$ .
a bliver da en angivelse af, hvor mange af de $\frac{1}{b}$ .’endedele, vi tager. Vi tager $a \cdot \frac{1}{b}$ , hvilket skrives som $\frac{a}{b}$ . Fx tager vi 3 af $\frac{1}{4}$ , hvor hver fjerdedel svarer til 5 æg. Det giver samlet 15 æg. Så $\frac{3}{4}$ af 20 æg er lig med 15 æg.

Sætning 1 – At forkorte og forlænge brøker

Brøker kan multipliceres med samme hele tal i tæller og nævner, uden at brøken derved ændrer størrelse. Dette kan udtrykkes symbolsk som:

Forlængning: $\frac{a}{b} = \frac{n\cdot a}{n \cdot b}$ Forkortning: $\frac{n\cdot a}{n \cdot b} = \frac{a}{b}$

, hvor $\frac{a}{b}$ er en vilkårlig brøk, og n er et vilkårligt positivt, helt tal.

Visuelt bevis

Visuelt kan dette begrundes ved blot at se på følgende:

forlaengning-og-forkortning-visuelt-bevis

$\frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{8}{16}$

Algebraisk argument (omformuleret version)

Da der i princippet står det samme ved både forlængning og forkortning, så kan man nøjes med at bevise det ene.

Ved forkortning står der således: $\frac{n\cdot a}{n \cdot b} = \frac{a}{b}$ .

Reelt står der på venstre side, at vi opdeler en enhed i $\frac{1}{n \cdot b}$ lige store stykker, hvor der skal ${n \cdot b}$ af dem for at danne en enhed på 1.

Tager man n af $\frac{1}{n \cdot b}$ – skrevet som $\frac{n}{n \cdot b}$ , så skal der altså b af disse stykker til at danne enheden 1.

I argumentet i bogen står der omformuleret i pkt 3, at $\frac{a}{b}$ kan tolkes som en angivelse af et stykke der består af a stykker af $\frac{1}{b}$ .

Det er sammenligneligt med, at der skal b stykker af $\frac{n}{n \cdot b}$ . (Fordi der kan reduceres med n i $\frac{n}{n \cdot b}$ )

Derfor er $\frac{n}{n \cdot b}$ således det samme som $\frac{1}{b}$ .

Så $\frac{n}{n \cdot b}$ = $\frac{1}{b}$ .

Dog skal der a stykker af $\frac{n}{n \cdot b}$ jf. venstre side af forkortningens ligning.

Men da $\frac{n}{n \cdot b}$ = $\frac{1}{b}$ , så kan vi tage a stykker af $\frac{1}{b}$ , hvilket derfor giver os $\frac{a}{b}$ .

Ergo er $\frac{n\cdot a}{n \cdot b} = \frac{a}{b}$

Addition af brøker

Her bruger vi det, at vi kan forlænge brøker. Ved at forlænge den første brøk med d og den anden med b, så skaber vi en fællesnævner. Dermed kan vi blot lægge tællerne sammen og beholder fællesnævneren.

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}$

Subtraktion af brøker

$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$

Videregående regning med brøker

Multiplikation og division af brøker

Generelt kan man sige, at der netop ved disse to regnearter mangler hverdagserfaringer, hvor det giver mening at multiplicere brøker med hinanden. Det giver fx ikke mening at gange $\frac{1}{2}$ pizza med $\frac{1}{3}$ pizza. Vi finder dog opgaver, som kan give mening, i det brøkspil ‘Brøker i hverdagen’, som I prøvede sidste gang.

Multiplikation af brøker

Når man multiplicerer brøker med hinanden, så svarer det til at man finder en brøkdel af noget, som allerede er en (brøk)del. Fx en $\frac{1}{2}$ af en $\frac{1}{3}$ sodavand.

Vi deler jf definitionen på en brøk således den anden brøk i b’endedele først. De dele er nu $\frac{1}{b}$ ‘endedele. Af dem tager vi så a stykker. I eksemplet med sodavanden ovenfor er det derfor at forstå sådan, at $\frac{1}{3}$ sodavand deles i 2 dele. Det bliver derfor delt i 2 gange så mange stykker. Det er altså nu 6-dele og af dem tager vi 1. Vi har taget $\frac{1}{6}$ .

Division af brøker

Her skal I tænke måledivision. I skal således finde ud af, hvor mange gange en given brøk kan “være/gå op i en brøk”. Fx hvor mange kvarte liter fløde, der går på tre kvarte liter fløde. Altså $\frac{3}{4}$ : $\frac{1}{4}$ .

Man dividerer $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}$ ved at gange $\frac{a}{b}$ med den omvendte brøk af $\frac{c}{d}$ . Dermed får man, at $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}$ = $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ .

Det kan ses herunder:

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}$

= $\frac{a\cdot d}{b\cdot d}:\frac{c\cdot b}{d\cdot b}$ (Vi forlænger begge brøker)

= $\frac{a\cdot d}{b\cdot d}:\frac{b\cdot c}{b\cdot d}$ (Stiller det korrekt)

Da vi nu har samme nævner (kaldet fællesnævner), så står der egenligt blot.

= ad : bc

= $\frac{ad}{bc}$

Hvilket er

= $\frac{a \cdot d}{b\cdot c}$

og altså

= $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Ergo er

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}$ = $\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$

Tals delelighed

Det er en god idé at kende til tallenes delelighed, når man forkorter og forlænger brøker. Nedenunder har jeg derfor skrevet en række regler, der gør sig gældende nedenfor. De bygger på 3 sætninger for tallendes delelighed (delelighedssætning 1-3). Dem vil jeg ikke komme ind på her, men det gør vi muligvis senere.

Man siger, at et tal (divisor/faktor) går op (ved division) i et andet tal (dividenden), når der ikke er en rest. Tallet 12 har fx 1, 2, 3, 4, 6 og 12 (samt -12, -6, -4, -3, -2 og -1, men det er ofte underforstået at man kun medtager positive divisorer), som divisorer.

2 går op i et tal, når – og kun når – tallet ender på 0, 2, 4, 6 eller 8.
3 går op i et tal, når – og kun når – 3 går op i tallets tværsum.
4 går op i et tal, når – og kun når – 4 går op i det tal, der dannes af det oprindelige tals to sidste cifre.
5 går op i et tal, når – og kun når – tallet ender på 0 eller 5.
6 går op i et naturligt tal, når – og kun når – både 2 som 3 går op i tallet.
8 går op i et tal, når – og kun når – 8 går op i det tal, der dannes af det oprindelige tals tre sidste cifre.
9 går op i et tal, når – og kun når – 9 går op i tallets tværsum.
10 går op i et tal, når – og kun når – tallet ender på 0.
12 går op i et tal, når – og kun når – både 3 og 4 går op i tallet.
13 går op i et tal, når man kan tage tallet uden det sidste ciffer og derfra trække det ni-dobbelte af sidste ciffer. (Eksempel: 858 er deleligt med 13 fordi 85-9×8 = 13 er deleligt med 13)
14 går op i et tal, når – og kun når – både 2 og 7 går op i tallet.
15 går op i et tal, når – og kun når – både 3 og 5 går op i tallet.

Man kan finde et tals divisorer i Geogebra ved at anvende følgende funktioner:

Divisorliste [ ]

Brøker med Geogebra

Øvelse 1

Udregn opgaverne. (se evt. videoerne under hjælp)

Øvelse 2

Formuler selv et tilsvarende antal opgaver for samme område og med samme sværhedsgrad.

Øvelse 3

Omskriv mellem brøker, decimaltal og procent. Formuler opgaver

Øvelse 4

Procentopgaver fra FP9.

Øvelse 5

Øvelse 6

Øvelse 7

Øvelse 8

Øvelse 9

$\frac{10}{12}$
$\frac{4}{5}$ – $\frac{5}{7}$ = $\frac{3}{35}$
a<2
Ved at gange den anden brøk (2) med den første brøks (1) nævner, så finder man, hvor stor tælleren ved den første brøk (1) maksimalt må være. Hvis værdien af den anden (2) brøk multipliceret med den første brøks (1) nævner giver et mindre tal end tælleren hos den første brøk (1), så er den første brøk (1) størst.
Det kan vises ved at sætte tal ind i stedet for a,b,c og d, men det kan også vises algebraisk. Husk at man kan forlænge eller forkorte med samme tal i både tæller og nævner – uden at brøken ændres. Det udnytter vi herunder: $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d} \Leftrightarrow$

$\frac{a \cdot d}{b \cdot d} \leq \frac{c \cdot b}{d \cdot b} \Leftrightarrow$ (forlænger) $\frac{a \cdot d}{b \cdot d} \cdot db\leq \frac{c \cdot b}{d \cdot b} \cdot db \Leftrightarrow$ $da\leq bc$
Det kan vises ved at sætte tal ind i stedet for a,b,c og d, men det kan også vises algebraisk. $\frac{a}{b} \leq \frac{a + c}{b + d} \Leftrightarrow$ $a \leq \frac{a + c}{b + d} \cdot b \Leftrightarrow$ $a \leq \frac{1}{b + d} \cdot (a + c) \cdot b \Leftrightarrow$ $a \cdot (b + d) \leq (a + c) \cdot b \Leftrightarrow$ $ab + ad \leq ba + bc \Leftrightarrow$ $ab + ad \leq ab + bc \Leftrightarrow$ $ab + ad - ab \leq ab + bc - ab \Leftrightarrow$ $ab \leq bc \Leftrightarrow$ $\frac{ad}{b} \leq \frac{bc}{b} \Leftrightarrow$ $\frac{ad}{b} \leq c \Leftrightarrow$ $\frac{a}{b} \cdot d \leq c \Leftrightarrow$ $\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d}$
Det sidste var givet at være sandt, så derfor er også det ensbetydende udsagn $\frac{a}{b} \leq \frac{a + c}{b + d} \Leftrightarrow$ sandt.
Tilsvarende bevises $\frac{a + c}{b + d} \leq \frac{c}{d}$
Brug fx formlen fra øvelse 9, pkt. 6 til at finde en brøk mellem 1/7 og 1/8.

Øvelse 10

Øvelsen kunne også løses i CAS.

$\frac{7}{4}$
$\frac{13}{6}$
$\frac{1}{6}$
$\frac{17}{12}$
$\frac{5}{6}$
$\frac{38}{45}$
$\frac{26}{203}$

Øvelse 11

Forklaringsøvelse.

Hvilken repræsentation af stykket $\frac{2}{5} + \frac{1}{3}$ vil du foretrække? Brug nedenstående til at forklare ud fra.

Pizza
Rektangel
Lakridsstang

Den kan evt. diskuteres ud fra ggbm.at/C788kuD9.

Øvelse 12

Addition af brøker

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}$

Subtraktion af brøker

$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d}$

Øvelse 13

Jeg ville forsøge at bruge billeder/situationer, som eleven kender fra hverdagen. Det kunne være sodavand, kager, chokolade. Når man multiplicerer brøker med hinanden, så svarer det til at man finder en brøkdel af noget, som allerede er en (brøk)del. Fx en $\frac{1}{3}$ af en $\frac{1}{2}$ sodavand. Jeg ville bede eleven tegne det og spørge til, hvad fællesnævneren er blevet til.

$\frac{1}{3}$ af det halve af en kage/cirkel. Det er $\frac{1}{6}$ .

Det kan være en god idé at forlænge brøkerne, så de får samme fællesnævner. Dermed kan det blive tydeligere for eleven, hvad der reelt regnes på, når man regner med division af brøker. Se herunder:

division-ved-broeker

Brøkerne i regnestykket $\frac{2}{5} : \frac{3}{4}$ forlænges til $\frac{8}{20} : \frac{15}{20}$ . De $\frac{15}{20}$ går således kun $\frac{8}{20}$ op i $\frac{8}{20}$ .

Øvelse 14

$\frac{9}{28}$
$\frac{4}{9}$
1
4
$\frac{3 \cdot n}{4}$
5

Øvelse 15

Personlig argumentation: Jeg ville bruge repræsentationerne fra sidste gang (rektangel, pizza, lakridsstang) samt links til ‘brøker i Geogebra’. Det handler om måledivision. Altså, hvor mange gange noget “går op i”.

Øvelse 16

$\frac{9}{8}$ eller $1 \frac{1}{8}$
$\frac{7}{24}$

Øvelse 17

Opgaven kan forklares på 2 måder (sikkert flere).

25 liter delt med $\frac{3}{4}$ findes ved at gange med den omvendte, hvilket er $\frac{100}{3}$ . Det er 33 flasker og $\frac{1}{3}$ til rest, hvilket er nok til en smagsprøve, da $\frac{1}{3}$ af en flaske på $\frac{3}{4}$ liter er $\frac{1}{4}$ liter.

Det tages først $\frac{1}{4}$ liter fra til en smagsprøve af de 25. Tilbage er der $24 \frac{3}{4}$ . Flaskerne kan indeholder $\frac{3}{4}$ liter. Jeg ville lave vinballonen om til uægte brøk først og derefter dividere den med de $\frac{3}{4}$ liter. Regnestykket er således $\frac{99}{4} : \frac{3}{4} = 33$ .

Øvelse 18

Tre tekstopgaver med multiplikation af brøker og tre med division af brøker.

Multiplikation

Hvad er $\frac{3}{4}$ af en kvart melon?
Troels vil gerne lave en kage. Han har 3/4 kg sukker, men han skal kun bruge $\frac{1}{2}$ af det. Hvor meget sukker skal han bruge?
Louies far vil lave Pizza. Han skal bruge $\frac{2}{5}$ af en $\frac{1}{2}$ pakke smør på 250g. Hvor meget smør skal han bruge?

Division

Mads’ mor vil lave jordbærmarmelade. Hun laver 9 $\frac{1}{2}$ liter. Hvor mange krukker skal hun bruge, hvis der i hver krukke kan være $\frac{1}{4}$ liter?
–
–

Øvelse 19

Vi at svaret på $\frac{\frac{22}{7}}{\frac{12}{5}}$ er en brøk:

$\frac{22}{7}:\frac{12}{5} = \frac{22}{7} \cdot \frac{5}{12} = \frac{110}{84} = \frac{55}{42}$

At division og brøkstreg ikke er det samme kan vises med nedenstående 3 udregninger af $\frac{\frac{22}{7}}{\frac{12}{5}}$ .

$\frac{22}{\frac{7}{12}} : 5 = (22 \cdot \frac{12}{7}) : 5 = \frac{264}{7} : 5 = \frac{264}{35}$

$\frac{22}{7} : 12 : 5 = \frac{22}{84} : 5 = \frac{22}{420} = \frac{11}{210}$

$\frac{22}{7}:\frac{12}{5} = \frac{22}{7} \cdot \frac{5}{12} = \frac{110}{84} = \frac{55}{42}$

Øvelse 20

$\frac{\frac{4}{5} + \frac{2}{3}}{\frac{4}{5} - \frac{2}{3}} \cdot \frac{2}{22} = \frac{\frac{12}{15} + \frac{10}{15}}{\frac{12}{15} - \frac{10}{15}} \cdot \frac{2}{22} = \frac{\frac{22}{15}}{\frac{2}{15}} \cdot \frac{2}{22} = 11 \cdot \frac{2}{22} = 1$

Decimaltal og procent

Øvelse 21

Jeg forklarer det med et andet eksempel. Jeg anvender mindre tal end eksemplet i bogen. 5,05 – 2,5. Det synes at være klart, at differencen gerne skulle give 2,55. Hvis jeg følger bogens eksempel, så skal jeg altså gøre tallene 100 gange større. Så jeg i stedet har tallene 505 og 250. Trækker de to tal sammen, så får man 255. Dog er tallet 100 gange for stort. Derfor skal man gøre det 100 gange mindre. Det gøres ved at dividere med 100 og derved flytte kommaet to pladser til venstre. Resultatet er altså 2,55.

Hvis vi ser på positionssystemet, så står der jo reelt, at der er 5 hundrededele – 0 hundrededele. Altså 5 hundrededele. Der er 0 tiendedele – 5 tiendedele. Her låner jeg fra 1’erne. Dermed har jeg 10 tiendedele – 5 tiendedele. Det er 5 tiendedele. Til sidst har jeg Der er er 4 enere – 2 enere. Altså 2 enere. Altså er der sammenlagt ialt 2 enere, 5 tiendedele og 5 hundrededele. Det skrives som 2,55.

Man kunne også stille det op vha. en lodret opstilling.

Øvelse 22

Det ses måske tydeligere, når man bruger mindre tal, at samme metode virker.

Tager vi fx 2,5 : 0,25, så noterer vi, at forskellen mellem antallet af de 2 tals decimaler er 1. Derefter regner vi uden decimaler 25 : 25. Det giver 1. Hvis divisor indeholder flest decimaler, så rykkes til højre – ellers rykkes til venstre. I dette tilfælde rykker vi derfor 1 plads til højre, da forskellen i decimaler var 1. Dermed fås resultatet 10.

Her er samtidig en anden måde at argumentere på ved division. Tager vi igen 2,5 : 0,25. Gør begge tal 10 gange større, så kan vi se, at det samme gælder ved 25 : 2,5 = 10. Og igen ved 250 : 25 = 10. Hver gang har vi gjort tallene 10 gange større. Ialt 100 gange ved det sidste stykke. Men tallene går op det samme antal gange. Man skal således blot blive ved med at gange begge med 10, indtil man kun har naturlige tal.

Øvelse 23

Talværdierne fordeles i disse to grupper

Gruppe 1: 1500 promille – 1,5 – 1 ½ – 1,5 – 1,500 – $\frac{6}{4}$ – $\frac{84}{56}$ – $\frac{12}{8}$ – 6 : 4

Gruppe 2: 0,75 – 750.000 ppm – tre fjerdedele – 750 promille – $\frac{3}{4}$ – $\frac{351}{468}$ – $\frac{21}{28}$ – 75% – 3 : 4

Periodelængder – brøker til decimaltal

Perioder angives med streger over den periode, som “går igen”. Fx $\frac{1}{3} = 0,\overline {3}$

Øvelse 24

Her udnytter vi en regel, som gør sig gældende ved brøker. Nemlig at

den uforkortelige brøk $\frac{t}{n}$ kan skrives som et endeligt decimaltal i netop de tilfælde, hvor n’s primfaktoropløsning kun indeholder 2 og 5.

Det vil jeg uddybe på et andet tidspunkt.

Decimaltals omdannelse til brøker

Øvelse 25

Opgave: Vis at $0,\overline{123}$ kan skrives som en brøk.

$x = 0,\overline{123}$ .

(Vi ganger x med 10 opløftet til længden af perioden. Her 10³, hvilket er 1000.)

$1000 \cdot x = 1000 \cdot 0,\overline{123}$ .

$1000 \cdot x = 123,\overline{123}$ .

(Vi trækker perioden x fra på begge sider. På venstre side skrives det som x og på højre som $x = 0,\overline{123}$ .)

$1000 \cdot x - x = 123,\overline{123} - 0,\overline{123}$ .

(Husk at på venstre sider er $1000 \cdot x - x$ lig med $999 \cdot x$ . )

$999 \cdot x = 123$ .

(Vi isolerer x på venstre side ved at dividere med tallet foran x på begge sider)

$x = \frac {123}{999}$ .

(forkorter brøken)

$x = \frac {41}{333}$ .

Opgave: Find for andre tal, hvor perioden ikke starter lige efter kommaet.

Fx $x = 0,5\overline{536}$ .

(Vi ganger x med 10 opløftet til længden af den del, som står foran perioden. Her 10¹, hvilket er 10.)

$10 \cdot x = 10 \cdot 0,5\overline{536}$ .

$10 \cdot x = 5,\overline{536}$ .

$1000 \cdot 10 \cdot x = 1000 \cdot 5,\overline{536}$ .

$10000 \cdot x = 5536,\overline{536}$ .

(Vi trækker perioden x fra på begge sider.)

$10000 \cdot x - 10 \cdot x = 5536,\overline{536} - 5,\overline{536}$ .

$9990 \cdot x = 5531$ .

(Vi isolerer x på venstre side ved at dividere med tallet foran x på begge sider)

$x = \frac {5531}{9990}$ .

Kapitel 6 –

Kapitel 7 –

Kapitel 8 –

Kapitel 9 –

Primtal

Definition af primtal

Et primtal er et naturligt tal, som ikke kan skrives, som et produkt af to mindre naturlige tal.

Primtal er beskrevet af Euklid allerede 300 f.v.t. i sine bøger Elementerne. Han beskrev, at mængden af primtal er uendelig, men han angav ikke, hvordan man kunne finde frem til primtal. Det gjorde Eratosthenes fra Kyrene (276-194 f.v.t.) opfandt sin berømte si – kaldet Eratosthenes’ si.

Hans si kan beskrives vha. følgende definition:

Eratosthenes’ si

Hvis man vil finde alle primtal op til og med n², skriver man alle tal op fra 2 til n². For hvert primtal p mindre end eller lig med n slettes alle multipla af tallet (på nær p selv). Resten består af alle primtallene op til n².

Forklaringen på side 169 i bogen viser, hvordan man fjerner alle sammensatte tal op til 16, nemlig 2,3,5,7,11 og 13.

Hvis vi har et sammensat tal a ⋅ b, som er mindre end eller lig med 16, så må enten a eller b være mindre end eller lig med 4.

Begge kan ikke være mere end 4, da det ville give mere end 16. Hvis den ene er 4, så må det andet altså være mindre end eller lig med 4. Det betyder, at ethvert tal op til og med 16 har 2, 3 eller 4 som faktor. Da 4 ikke er et primtal, men kan beskrives som 2 ⋅ 2, så kan vi nøjes med at beskrive alle tal op til og med 16 vha. primtallene 2 og 3.

Man kalder denne primfaktoropløsning.

Eksempel

taelletrae Ethvert tal større end 1 er enten et primtal eller et sammensat tal. Et sammensat tal kan dog altid beskrives, som to tal multipliceret med hinanden. Fx kan tallet 6 beskrives som 2 ⋅ 3, og tallet 8 kan beskrives som 2 ⋅ 4.

Ved primfaktorisering/primfaktoropløsning bliver man dog ved, indtil man ikke har flere sammensatte tal i regneudtrykket. Det betyder, at 8 kan beskrives, som 2 ⋅ 4. Men da 4 også er et sammensat tal, som kan beskrives ved 2 ⋅ 2, så kan 8 beskrives som 2 ⋅ 2 ⋅ 2. Dette kan også skrives som 2³.

Man kan anvende et tælletræ til at forenkle processen, som vist her til venstre.

Primfaktorisering/primfaktoropløsning

Herunder en dansk udgave af en video fra khanacademy.com.

Noter til øvelserne 1,2,3

Øvelse 1

Definition 1

Hvis d og D er naturlige tal, så siger vi, at d går op i D, hvis der findes et naturligt tal q, således at D = d ⋅ q.

Dermed kan vi sige, at

91 = 7 ⋅ 13, så 7 går op i 91; kvotienten er 13.
D = d ⋅ q
143 = 13 ⋅ 11, så 13 går op i 143; kvotienten er 11.
D = d ⋅ q
$D = d \cdot q \Longleftrightarrow \frac{D}{d} = \frac{d}{d} \cdot q \Longleftrightarrow \frac{D}{d} = q$
– Alternativ version –

Øvelse 2

Sætning 1

Hvis d går op i både D₁ og D₂, så går d op i D₁ + D₂.

Sætning 2

Hvis d går op i både D₁ og D₂, så går d op i D₁ – D₂.

Direkte bevis

D₁ + D₂.

Først kigger vi på d går op i D₁ og D₂. Dermed må det jf. definition 1 betyde D₁ = d ⋅ q₁ og D₂ = d ⋅ q₂, hvor q₁ og q₂ er naturlige tal.

Vi lægger sammen og får D₁ + D₂= d ⋅ q₁ + d ⋅ q₂. = d ⋅ (q₁ + q₂)

Men da (q₁ + q₂) er et naturligt tal (det er jo 2 naturlige tal lagt sammen), så kan man kalde det q. Så dermed kan vi sige, at der nu står D₁ + D₂= d ⋅ q, hvilket jf. definition 1 betyder, at d går op i D₁ + D₂. Hvilket skulle bevises.

D₁ – D_{2 for D1 > D2}

Først kigger vi på d går op i D₁ og D₂. Dermed må det jf. definition 1 betyde D₁ = d ⋅ q₁ og D₂ = d ⋅ q₂, hvor q₁ og q₂ er naturlige tal.

Dermed trækker vi dem fra hinanden og får D₁ – D₂= d ⋅ q₁ – d ⋅ q₂. = d ⋅ (q₁ – q₂)

Men da (q₁ – q₂) er et naturligt tal (det er jo 2 naturlige tal trukket fra hinanden), så kan man kalde det q. Så dermed kan vi sige, at der nu står D₁ – D₂= d ⋅ q, hvilket jf. definition 1 betyder, at d går op i D₁ – D₂. Hvilket skulle bevises.

Øvelse 3

Find alle primtal op til 100 vha. Erastothenes’ si:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,
67, 71, 73, 79, 83, 89 og 97.
Søgning: sieve eratosthenes interactive
1. Gode links til Eratosthenes Si
  1. www.visnos.com/demos/sieve-of-eratosthenes
  2. www.transum.org/software/Sieve_of_Eratosthenes
Primtalstvillinger

Par (3,5) Par (5,7) Par (11,13) Par (17,19) Par (29,31) Par (41,43) Par (59,61) Par (71,73)

Øvelse 4

Det ene af tallene (p, p + 1) er lige. Det eneste lige primtal der findes er 2. Derfor kan der kun
findes ét sæt primtalsnaboer, nemlig (2,3).

Når p er ulige, vil der blandt tallene (p, p + 2, p + 4) altid være ét, der ligger i 3-tabellen, fordi det er
åbenlyst, at et af de tre på hinanden følgende tal (p, p + 1, p + 2) må ramme 3-tabellen, og hvis det
er p + 1, så vil p + 4 også gøre det. Da det eneste primtal i tretabellen er selve 3, kan der kun være
det ene sæt primtalstrillinger (3, 5, 7).

f(n) = n² – n + 41 ser ud til at give lutter primtal. Dog får man et sammensat tal, når man indsætter 41.

Prøv evt at bruge regnearket til at lave værdierne.

Download regneark: primtal-op-til-3000

Øvelse 5

–

Euklids algoritme

Euklids algoritme kan bruges til at finde den største fælles divisor til to tal. Altså det største tal, som går op i to forskellige naturlige tal. Jeg viser det med to andre tal end dem, som er givet i bogen. Han benyttede de to sætninger nedenfor. De er også brugt i øvelse 2.

Sætning 1

Hvis d går op i både D₁ og D₂, så går d op i D₁ + D₂.

Sætning 2

Hvis d går op i både D₁ og D₂, så går d op i D₁ – D₂.

Eksempel 1 – Find Største Fælles Divisor

Lad os sige, at vi tager tallene 112 og 36. Så finder man den største fælles divisor ved at trække det mindste tal fra det største tal. 112-36 = 76. Igen 76-36 = 40. Igen 40-36 = 4. Man skal dog blive ved at trække tallene fra hinanden indtil begge tal bliver lige store. Da man ikke kan trække 36 fra 4 uden at få et negativt tal og dermed ikke et naturligt tal, så bytter man blot om på tallene, så man trækker det mindste fra det største. Man fortsætter 36-4 = 32, 32-4 … 8-4 = 4. 4 er dermed den største fælles divisor.

Eksempel 2 – Find Største Fælles Divisor

Den største fælles divisor til 446 og 248 er 446-248 = 198. 248-198 = 50, 198-50 = 148, 148-50 = 98, 98-50 = 48. 50-48 = 2. 4-2= 2 Dermed er den største fælles divisor altså 2.

Eksempel 2 – Find Største Fælles Divisor

Den største fælles divisor til 850 og 250 er 850-250 = 600, 600-250 = 350, 350 – 250 = 100, 250 – 100 = 150, 150-100 = 50, 100-50 = 50. Den største fælles divisor er dermed 50.

Det er dog en temmelig vanskelig og omstændelig måde, hvis man har store tal. Derfor kan man benytte metoden division med rest.

Værktøj

Du kan også bruge følgende regneark til at finde Største Fælles Divisor og Mindste Fælles Multiplum.

SFD og MFM

Øvelse 6 – Division med rest

		Rest
330	77	22
77	22	11
22	11	0

Den største fælles divisor er derfor 11.

Prøv denne metode på tallene: 279 og 117 (Se svaret ved at markere teksten)

		Rest
279	117	45
117	45	27
45	27	18
27	18	9
18	9	0

Den største fælles divisor er derfor 9.

——————————————————————————-

Vi springer denne del over i denne omgang. Vi kigger på det i modul 3. Se det derfor ikke som endelige svar eller forklaringer. Jeg går derfor ikke i dybden med det denne gang.

Sætning 3 – Følgesætning til Euklids algoritme

Følgesætning til Euklids algoritme kan bruges til at finde løsninger til såkaldte diophantiske ligninger, som er ligninger, hvor alle indgående tal er hele.

Følgesætningen kan beskrives som

sfd(D,d) = x ⋅ D + y ⋅ d, hvor x og y er hele tal (Talmængde Z).

Hvis man vil finde ud af, om der findes heltallige løsninger a og b til en ligning, så kan man bruge Euklids følgesætning.

Øvelse 7

Hvis man derfor har to tal 25 og 17, som har fælles divisor 1, så kan man sætte dem ind i Euklids følgesætning, så man får x ⋅ 25 + y ⋅ 17 = 1. Eller skrevet som 25 ⋅ x + 17 ⋅ y = 1. Tallet 1 kan altså skrives som 25 ⋅ x + 17 ⋅ y, hvor x og y er hele tal. Nu er det blot at finde løsningen. Den er 25 · (-2) + 17 · 3 = 1.

Undersøgelse 1

Afgør, om der findes løsninger til ligningerne:

17x + 25y = 1
Sfd(25,17) = 1
Løsninger JA.
15x + 25y = 6
Da sfd(25,15) = 5 findes der jf. følgesætningen løsninger til ligningen 15a + 25b = 5, men 15(x – a) + 25(y – b) = 1.
Løsninger NEJ.
42x + 33y = 6
Da sfd (42,33) = 3 findes der løsninger til ligningen 42a + 33b = 3.
Dermed er x= 2a og y = 2b løsning til ligningen 42x + 33y = 6.
Løsninger JA.
65x + 91y = 6
Da sfd (91,65) = 13 findes der jf følgesætningen løsninger til ligningen 65a + 91b = 13.
Men da
—
—
—
—

Sætning 4

Hvis et primtal går op i et produkt, går det op i en af faktorerne.

Bevis

Hvis et primtal p går op i et produkt ab, må p gå op i mindst én af faktorerne a og b.

Hvis vi eksempelvis ser på, om primtallet 7 går op i 21, så ser vi, at 7 altså må gå op i enten 3 eller 7.

Det bevises indirekte ved at påvise, at såfremt p ikke går op i b, så må p gå op i a.

Vi siger altså, at p går op i ab, men ikke i b.

Hvis p ikke går op i b, så må sfn(p,b) være lig med 1, fordi p kun har faktorerne p og 1, da det jo er et primtal.

Bruger vi sætning 3, så ved vi, at der findes hele tal x og y, så x ⋅ p + y ⋅ b = 1.

Ganger vi igennem med a, så får vi, at x ⋅ p ⋅ a + y ⋅ b ⋅ a = 1 ⋅ a. Det kan også skrives som p ⋅ x ⋅ a + a ⋅ b ⋅ y = a.

Her kan vi se, at p faktisk går op i 1. og 2. led på venstre side, da p går op i p i første led og i ab i 2. led. Da venstre side er lig med højre side, så må p altså også gå op i a, hvilket skulle bevises.

Øvelse 8

—

Øvelse 9

18 = 2 ⋅ 3²
750 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5³
143 =11 ⋅ 13

Øvelse 10

Man finder antallet af divisorer ved at se på, hvor mange potenser, det er muligt at bruge af det enkelte primtal.

Hvis et sammensat tal som 92 fx. skal beskrives vha. primtal (kaldet primfaktoropløsning), så kan det skrives som 92 = 2 · 2 · 23.

Primfaktoropløsning af tallet 92

Dermed kan vi lave et tælletræ/procesdiagram, som starter med at have 3 mulige udfald til divisorer, nemlig 2⁰, 2¹ og 2². I næste led i tælletræet er der 2 mulige udfald til divisorer, da det er 23⁰ og 23¹.

Ialt er der således 3 · 2 = 6 mulige divisorer. Det er 1, 2, 4, 23, 46 og 92. Dette er forklaret på side 180 i bogen. Vi bruger det i øvelse 10.

12 = 3 ⋅ 2² og 75 = 3 ⋅ 5²Derfor er de begge på formen p ⋅ q² og har divisorerne p, q , p ⋅ q og p ⋅ q².
210 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7
Divisorerne er derfor
1. 2⁰ ⋅ 3⁰ ⋅ 5⁰ ⋅ 7⁰ = 1,
2. 2¹ ⋅ 3⁰ ⋅ 5⁰ ⋅ 7⁰ = 2
3. 2⁰ ⋅ 3¹ ⋅ 5⁰ ⋅ 7⁰ = 3,
4. 2⁰ ⋅ 3⁰ ⋅ 5¹ ⋅ 7⁰ = 5,
5. 2¹ ⋅ 3¹ ⋅ 5⁰ ⋅ 7⁰ = 6,
6. 2⁰ ⋅ 3⁰ ⋅ 5⁰ ⋅ 7¹ = 7,
7. 2¹ ⋅ 3⁰ ⋅ 5¹ ⋅ 7⁰ = 10,
8. 2¹ ⋅ 3⁰ ⋅ 5⁰ ⋅ 7¹ = 14,
9. 2⁰ ⋅ 3¹ ⋅ 5¹ ⋅ 7⁰ = 15,
10. 2⁰ ⋅ 3¹ ⋅ 5⁰ ⋅ 7¹ = 21,
11. 2¹ ⋅ 3¹ ⋅ 5¹ ⋅ 7⁰ = 30,
12. 2⁰ ⋅ 3⁰ ⋅ 5¹ ⋅ 7¹ = 35,
13. 2¹ ⋅ 3¹ ⋅ 5⁰ ⋅ 7¹ = 42,
14. 2¹ ⋅ 3⁰ ⋅ 5¹ ⋅ 7¹ = 70,
15. 2⁰ ⋅ 3¹ ⋅ 5¹ ⋅ 7¹ = 105,
16. 2¹ ⋅ 3¹ ⋅ 5¹ ⋅ 7¹ = 210,
Hvilke(t) tal under 100 har fleste divisorer?
60 = 2 · 2 · 3 · 5 , 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 , 84 = 2 · 2 · 3 · 7, 90 = 2 · 3 · 3 · 5 og 96 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 har alle 12 divisorer.
Tal med netop 2 divisorer er primtal.
Hvad kan du fx sige om tal med præcis tre divisorer?
–

Øvelse 11

Så findes der 3 · 4 divisorer. Altså 12.
Hvis p · q · r er 3 forskellige primtal, så er der 8 divisorer
1. p⁰ · q⁰ · r⁰,
2. p¹ · q⁰ · r⁰,
3. p⁰ · q¹ · r⁰,
4. p¹ · q¹ · r⁰,
5. p⁰ · q⁰ · r¹,
6. p¹ · q⁰ · r¹,
7. p⁰ · q¹ · r¹,
8. p¹ · q¹ · r¹,
Hvis p er et primtal, så har pⁿ netop (n+1) divisorer.
Divisorerne er 1, p¹, p², p³, p⁴, p^n-1,pⁿ. Altså n+1 divisorer.
–
Fra punkt 4 ved vi at der til ethvert tal findes p^x · q^y · … · r^z, har (x+1) · (y + 1) · … · ( r + 1) divisorer.
Det betyder, at alle faktorerne på nær én kun kan være 1 og den sidste må være 11. Det må være et primtal, som er opløftet i 10’ne potens. 2¹⁰ er 1024. 3¹⁰ er 59049, hvilket er mere end 2000.
Tallet under 2000, der har 11 divisorer er derfor 1024.

Få evt. hjælp fra dette link.

en.wikipedia.org/wiki/Table_of_divisors

Øvelse 12

sfd(72,25)
Da 72 = 2³ · 3² og 25 = 5² er sfd(72,25) = 1, idet de ikke har et fælles primtal, som således kan “gå op”.
I mfm(72,25) skal alle primfaktorerne derfor indgå med maksimal vægt. Dvs. 2³ · 3² · 5² = 1800.
Fx 2 · 3³ · 5² og 3³ · 5².
Sfd af de to tal er 3³ · 5² og mfm er 2 · 3³ · 5².
Hvis man skal finde eksempler, hvor forskellen på sfd og mfm er lille, så skal de to tal indeholde de samme primfaktorer med fx kun et 2-tal som afvigelse.
At der for vilkårlige naturlige (positive hele tal) tal a og b gælder mfm(a,b) · sfd(a,b) = a · b kan holdes på mindre symbolkrævende plan, hvis man konstaterer, at a · b indeholder alle de forekommende primfaktorer i a og b, men det gør mfm(a,b) også, idet dog de primtal, der er fælles for a og b, ikke kommer med to gange, men de kommer med i sfd(a,b), hvor de netop kommer med i den lavere potens, der blev udeladt i mfm(a, b). Derfor kommer alle primfaktorer i a og b med i den rette potens, når man multiplicerer mfm(a,b) og sfd(a,b).Et eksempel
mfm(6,4) · sfd(6,4) = 6 · 4
( 2² · 3) · 2 = (2 · 3) · (2 · 2)
2³ · 3 = 2³ · 3
24 = 24

Øvelse 13

Vis, at $\sqrt{17}$ er irrational.

Her laver jeg et indirekte bevis, som vist i bogen på side 183. Vi antager altså, at $\sqrt{17}$ ikke er irrational, men rational. Det må betyde, at $\sqrt{17}$ kan skrives som en brøk $\frac{p}{q}$ .

Vi vil kunne skrive $\sqrt{17} = \frac{p}{q}$

Det ville betyde, at

$\left( \sqrt{17} \right) ^2 = \left( \frac{p}{q} \right)^2$ .

$17 = \frac{p^2}{q^2}$ .

Men den eneste uforkortelig brøk, som er lig med 17 er $\frac{17}{1}$ .

Dermed er p² = 17 og q² = 1.

Men der er ikke et tal, som multipliceret med sig selv, giver 17, da 17 er et primtal.

Antagelsen om, at $\sqrt{17}$ var altså forkert, og derfor er $\sqrt{17}$ irrational.

De eneste tal, som kan beskrives som rationale, er kvadrattallene.

Øvelse 14

Et indirekte bevis vil igen være at antage, at $\sqrt{n} = \frac{p}{q}$ er rationalt tal, så får vi $n = \frac{p^2}{q^2}$ .

Det betyder, at n = p², da q altid må skulle være 1. Den eneste situation, hvor dette ikke giver anledning til en modstrid, er hvis n er et kvadrattal.

Altså er $\sqrt{n}$ irrational på nær, når n er et kvadrattal.

Kapitel 10 – Algebras stofdidaktik

At udvikle forståelser af lighedstegn (s. 214-218)

Øvelse 8 + Øvelse 9

Grænsen for vægtrepræsentationen ligger ved de situationer, hvor man har negative værdier. Det giver jo i princippet ikke mening, at man skal lægge en værdi på skålen, som er negativ. I øvelsen henvises dog til link 3 (nedenfor). I dette link anvender man helium-balloner, som har negativ vægt. Se billedet nedenfor.

Repræsentationer og oversættelser af ligninger (s. 220-222)

Afprøv

www.pbslearningmedia.org/asset/mgbh_int_balance
www.mathsisfun.com/algebra/add-subtract-balance.html
nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_324_g_3_t_2.html (Denne henvises der til i bogen – , opgave 9, s. 217)
nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_201_g_3_t_2.html
www.mathplayground.com/AlgebraEquations.html

Hvis I ikke kan få øvelsen til at virke pga. java, så se en film om øvelsen her:

Kapitel 11 – Funktioner og funktionsbegrebet

Udvikling af personlig viden om funktioner (s.225-227)

Funktionsmaskiner (s.227-230) – Fokuser på øvelse 4 (Geogebra).

Kapitel 12 – Ligninger og problemløsning

I går derefter videre med følgende underpunkter i kapitel 12:

Den ukendte som pladsholder og som variabel. (s. 247-249) – øvelse 1+2

Øvelse 1

Øvelse 2

A – 3 = B
C = ½B = ½(A-3) .

Indsættes dette i A+ B+C = 28 får man:

$A + A-3+\frac{1}{2} (A-3)=28$

$\frac{5}{2} A -\frac{9}{2} = 28$

$\frac{5}{2} A =\frac{65}{2}$

A=13

B og C bestemmes så ved indsættelse til B=10 og C=5.

Eller

2C=B

A=B+3=2C+3

Indsættes dette i A+ B+C = 28 får man:

2C+3+2C+C=28

5C=25

C=5

A og B bestemmes så ved indsættelse til A=13 og B=10.

Øvelse 3

Kapitel 12 – Øvelse 3 – Målsøgning (Excel – Lav målsøgning i dokumentet)

Løsning af ligningssystemer (s. 259-260) – Øvelse 9+10

Øvelse 9

x=5
x=-8
x= $\sqrt{2}$
x=11

Øvelse 10

–

Øvelse 11

–

Førstegradsligninger med flere ubekendte (s. 260-264) – Øvelse 12+13 – Lige store koefficienter

Ligningsløsning – Lige store koefficienter

Eksemplet i bogen kunne løses i fx Geogebras CAS-del, hvis I skriver Beregn({2x+5y-13z=1000,3x-9y+3z=0,-5x+6y+8z=-600},{x,y,z}) .

Øvelse 12

x=10, y=5, z=2

Øvelse 13

Beregn({2x+3y+4z+5v=33,5x+4y+3z+2v=30,1x+2y+0z+7v=45,7x+0y+2z+1v=15},{x,y,z,v})

To ligninger med to ubekendte (s. 264-271) – Øvelse 16+17 – Substitutionsmetoden

Øvelse 16

Isoler fx x i den ene ligning og sæt det ind i den anden ligning. Dermed fås en værdi for y, som igen kan indsættes i en af ligningerne, så man kan finde værdien for x.

Øvelse 17

Isoler fx x i den ene ligning og sæt det ind i den anden ligning. Dermed fås en værdi for y, som igen kan indsættes i en af ligningerne, så man kan finde værdien for x.

Ekstraopgave

Lav to videoer, hvor du forklarer hhv. lige store koefficienter og substitutionsmetoden.

CAS i Geogebra

CAS i Geogebra giver også mulighed for at løse ligninger med flere ubekendte.

Ligningsløsning – Løsning af ligninger med 2 eller flere ubekendte

CAS-delen har også en mulighed for at beregne løsningen til ligninger med 2 eller flere ubekendte. Hvis vi fx har følgende 2 ligninger med 2 ubekendte x og y.

x+y=3
4x+3y=1

Så findes løsningen ved at gøres således:

Skriv følgende Beregn[{x+y=3, 4x+3y=1},{x,y}]
Tryk Enter på tastaturet.

Hvis der er fx er 3 ubekendte x, y og z, så skal de skrives mellem {}. Dvs. {x,y,z}.

Kapitel 1 – Genoplev kampen med at forstå positionssystemet

Øvelse 1 – ALFABETALAND

Øvelse

Diskutér

Gode værktøjer

Øvelse 2 – Oversæt fra totalssystemet til titalssystemet

Øvelse 3 – Omskriv fra de forskellige baser

Base X – Potenser

Base V

Base V – Potenser

Udregning

Ekstraopgaver

Hex-systemet/16-talssystemet

Potens

Opgave

Øvelse 5 – Opstil den lille tabel for addition i femtalssystemet. (Markér tabellen for at se løsningen)

Øvelse 6 – Udregn vha. tabellen

Øvelse 7 – Beregn multiplikationsstykker

Øvelse 8 – Opstil den lille multiplikationstabel for femtalssystemet (Markér tabellen for at se løsningen)

Øvelse 9 – Multiplikation og om at udfolde regnestykket

Øvelse 10 – Forklar, hvordan man ganger to tal i femtalssystemet.

Øvelse 11 – Divisionstykker i femtalssystemet.

Øvelse 12 – Kan man let se om 2 og 5 går op?

Øvelse 13 – Den lille additions- og multiplikationstabel i totalsystemet.

Kapitel 2 – At gange og dividere flercifrede tal

Overvej/diskutér 5

Overvej/diskutér 6

Overvej/diskutér 7

Øvelse 1

Undersøgelse 1

Undersøgelse 2

Kapitel 3 –

Kapitel 4 –

Kapitel 5 – De positive rationale tal

Brøker

Sætning 1 – At forkorte og forlænge brøker

Visuelt bevis

Algebraisk argument (omformuleret version)

Addition af brøker

Subtraktion af brøker

Videregående regning med brøker

Multiplikation og division af brøker

Multiplikation af brøker

Division af brøker

Tals delelighed

Brøker med Geogebra

Forkortning/Forlængning – Visualisering af brøker

Addition af brøker

Subtraktion af brøker

Division af brøker

Multiplikation af brøker

Øvelse 1

Øvelse 2

Øvelse 3

Øvelse 4

Øvelse 5

Øvelse 6

Øvelse 7

Øvelse 8

Øvelse 9

Øvelse 10

Øvelse 11

Øvelse 12

Øvelse 13

Øvelse 14

Øvelse 15

Øvelse 16

Øvelse 17

Øvelse 18

Øvelse 19

Øvelse 20

Decimaltal og procent

Øvelse 21

Øvelse 22

Øvelse 23

Periodelængder – brøker til decimaltal

Øvelse 24

Decimaltals omdannelse til brøker

Øvelse 25

Opgave: Vis at kan skrives som en brøk.

Opgave: Vis at $0,\overline{123}$ kan skrives som en brøk.