Denne opgave bearbejder emnet logistisk vækst, som det beskrives i øvelse 24 i Matematik for lærerstuderende – Tal, Algebra og Funktioner (4.-10. klasse) .

Opgaven

I skal udforme et regneark, der kan simulere nedenstående 4/5 modeller for kaniner og ræves populationsstørrelse i et område, f.eks. en øde ø.

Modellerne, I skal arbejde med er:

1. Vækst uden grænser.
2. Vækst med en begrænset fødemængde.
3. Vækst med begrænset fødemængde og ræve
4. En udvidet model
5. En udvidet model 2

A. Vækst uden grænser

I denne model er der hverken mangel på fødevarer, og hverken rovdyr eller sygdom har indflydelse på antallet af kaniner. Sammenhængen imellem antallet af kaniner og tidspunktet er derfor blot:

Antal kaniner(Nu) = Antal kaniner(Før) + Konstant * Antal kaniner(Før)

Den første del på højre side af lighedstegnet er de “gamle” kaniner, mens den sidste del er de kaniner, der bliver født. Jo større konstanten er, jo hurtigere vil bestanden af kaniner vokse.

1. Fremstil et regneark over denne model.
2. Undersøg konstantens betydning for modellen.
3. Benyt regnearket til at lave en grafisk fremstilling af modellen.

B. Vækst med en begrænset fødemængde

I denne model vil der være en maksimal værdi, bæreevnen, for kaninerne. Bæreevnen bestemmes af den fødemængde, der er til rådighed.

Modellen kan beskrives ved udtrykket nedenfor.

Efterhånden som antallet af kaniner nærmer sig det maksimale antal, vil tallet indenfor parentesen blive mindre og mindre. Derfor vil bestanden af kaniner holde op med at vokse.

Antal kaniner(Nu) = Antal kaniner(Før) + Konstant * (1 – Antal kaniner(Før) / Max. antal kaniner)* Antal kaniner(Før)

1. Lav et regneark over denne model.
2. Undersøg konstantens betydning for modellen.
3. Hvad sker der hvis der til at begynde med er flere kaniner end Max. antal?
4. Benyt regnearket til at lave en grafisk fremstilling af modellen.

C. Vækst med begrænset fødemængde og ræve

I denne model vil antallet af kaniner blive reduceret ved at der også er ræve på øen. Disse ræve vil, i denne model, ikke formere sig, men vil blot æde en del af kaninerne. Jo flere kaniner, der findes på øen, jo “mere” mætte vil rævene blive.

Modellen kan nu se således ud:

Antal kaniner(Nu) = Antal kaniner(Før) + Konstant * (1 – Antal kaniner(Før)/Max. antal kaniner)* Antal kaniner(Før) – Konstant for ædt kanin * Antal kaniner(Før) * Antal ræve(før)

Denne model indeholder de samme værdier som i model B. Men desuden bliver der dræbt kaniner af rævene. Dette sker med beskrivelsen i det sidste led. Da mængden af ræve ikke ændrer sig i denne model, vil hver ræv blot spise flere og flere kaniner.

1. Lav et regneark over denne model.
2. Undersøg konstanternes betydning for modellen.
3. Benyt regnearket til at lave en grafisk fremstilling af modellen.

D. En udvidet model

I den forrige model var bestanden af ræve konstant. Men hvis antallet af kaniner forøges, forøges mulighederne for, at der kan leve flere ræve også. Jo flere ræve, der findes på øen, jo flere kaniner vil der blive spist. Derfor kan kaninbestanden falde.

Modellen kan se således ud:

Antal kaniner(Nu) = Antal kaniner(Før) + Konstant * (1 – Antal kaniner(Før)/Max. antal kaniner)* Antal kaniner(Før) – Konstant for ædt kanin * Antal kaniner(Før) * Antal ræve(før)

Antal ræve(Nu) = Antal ræve(Før) + Konstant for formering af ræve * Antal kaniner(Før)*Antal ræve(Før)

(Denne model er vist i Viggo Sadolin: Tabelsprog og modeller, Infa-matematik, 1998)

Hvis du undrer dig over formuleringen Konstant for formering af ræve * Antal kaniner(Før)*Antal ræve(Før) og hvorfor der både er ræve og kaniner i dette udtryk, er det ikke helt urimeligt. Begrundelsen er at dette giver en fornuftig model hvor kaninernes bestand influerer på rævenes antal.

1. Lav et regneark over denne model.
2. Undersøg konstanternes betydning for modellen.
3. Benyt regnearket til at lave en grafisk fremstilling af modellen.
4. Hvad sker der, hvis Antal ræve ved start ændres opad / nedad?

E. En udvidet model 2

Model D kan udbygges med en antagelse om, at antallet af ræve i forhold til antal kaniner ikke må overstige et fast tal. (Der må ikke være for mange ræve i forhold til antallet af kaniner).

Antal ræve(Nu) = Antal ræve(Før) + Konstant for formering af ræve * (max forhold ræv/kanin – Antal ræve(Før)/Antal kaniner(Før))*Antal ræve(Før)

1. Lav et regneark over denne model.
2. Undersøg konstanternes betydning for modellen.
3. Benyt regnearket til at lave en grafisk fremstilling af modellen.