Hermed følger programmet for uge 38. Der arbejdes hovedsageligt med kapitel 5 i denne uge.

DAG 2

FORBEREDELSE

• Lav også øvelserne 9,10,11 og 12 på siderne 102 – 103 .

UNDERVISNING

Kapitel 5 – De positive rationale tal

Grubleren – En subtraktionsalgoritme (Grubleopgave : Hvad i alverden foregår der?)

Vi indleder med følgende grubler.

Følgende subtraktionsalgoritme er lidt spidsfindig.

Kan du finde ud af, hvordan det kan lade sig gøre?

Kan den virke med andre talsystemer?

Forklaringen af algoritmen gennemgås på klassen og i præsentationen.

Brøker

Bogens fortolkning af brøker kan kort formuleres således:

1. En brøk er en ligelig opdeling af en enhed. Vi deler en enhed i b lige store dele. Fx kan vi dele 20 æg i 4 lige store dele, hvilket er 5 æg til hver fjerdedel.
2. Hver af disse dele kalder vi en b’endedel, hvilket skrives som .
3. a bliver da en angivelse af, hvor mange af de .’endedele, vi tager. Vi tager , hvilket skrives som . Fx tager vi 3 af , hvor hver fjerdedel svarer til 5 æg. Det giver samlet 15 æg. Så  af 20 æg er lig med 15 æg.

Sætning 1 – At forkorte og forlænge brøker

Brøker kan multipliceres med samme hele tal i tæller og nævner, uden at brøken derved ændrer størrelse. Dette kan udtrykkes symbolsk som:

 

Forlængning:             Forkortning:      

 

, hvor er en vilkårlig brøk, og n er et vilkårligt positivt, helt tal.

Visuelt bevis

Visuelt kan dette begrundes ved blot at se på følgende:

Algebraisk argument (omformuleret version)

Da der i princippet står det samme ved både forlængning og forkortning, så kan man nøjes med at bevise det ene.

Ved forkortning står der således:  .

Reelt står der på venstre side, at vi opdeler en enhed i   lige store stykker, hvor der skal  af dem for at danne en enhed på 1.

Tager man n af  – skrevet som  , så skal der altså b af disse stykker til at danne enheden 1.

I argumentet i bogen står der omformuleret i pkt 3, at kan tolkes som en angivelse af et stykke der består af a stykker af .

Det er sammenligneligt med, at der skal b stykker af  .

Derfor er  således det samme som .

Så  = .

Dog skal der a stykker af  jf. venstre side af forkortningens ligning, hvilket derfor giver os  .

Ergo er 

Addition af brøker

Her bruger vi det, at vi kan forlænge brøker. Ved at forlænge den første brøk med d og den anden med b, så skaber vi en fællesnævner. Dermed kan vi blot lægge tællerne sammen og beholder fællesnævneren.

Subtraktion af brøker

Tals delelighed

Det er en god idé at kende til tallenes delelighed, når man forkorter og forlænger brøker. Nedenunder har jeg derfor skrevet en række regler, der gør sig gældende nedenfor. De bygger på 3 sætninger for tallendes delelighed (delelighedssætning 1-3). Dem vil jeg ikke komme ind på her, men det gør vi muligvis senere.

Man siger, at et tal (divisor/faktor) går op (ved division) i et andet tal (dividenden), når  der ikke er en rest. Tallet 12 har fx 1, 2, 3, 4, 6 og 12 (samt -12, -6, -4, -3, -2 og -1, men det er ofte underforstået at man kun medtager positive divisorer), som divisorer.

• 2 går op i et tal, når – og kun når – tallet ender på 0, 2, 4, 6 eller 8.
• 3 går op i et tal, når – og kun når – 3 går op i tallets tværsum.
• 4 går op i et tal, når – og kun når – 4 går op i det tal, der dannes af det oprindelige tals to sidste cifre.
• 5 går op i et tal, når – og kun når – tallet ender på 0 eller 5.
• 6 går op i et naturligt tal, når – og kun når – både 2 som 3 går op i tallet.
• 8 går op i et tal, når – og kun når – 8 går op i det tal, der dannes af det oprindelige tals tre sidste cifre.
• 9 går op i et tal, når – og kun når – 9 går op i tallets tværsum.
• 10 går op i et tal, når – og kun når – tallet ender på 0.
• 12 går op i et tal, når – og kun når – både 3 og 4 går op i tallet.
• 13 går op i et tal, når man kan tage tallet uden det sidste ciffer og derfra trække det ni-dobbelte af sidste ciffer. (Eksempel: 858 er deleligt med 13 fordi 85-9×8 = 13 er deleligt med 13)
• 14 går op i et tal, når – og kun når – både 2 og 7 går op i tallet.
• 15 går op i et tal, når – og kun når – både 3 og 5 går op i tallet.

Man kan finde et tals divisorer i Geogebra ved at anvende følgende funktioner:

• Divisorliste [ ]

Brøker med Geogebra

Forkortning/Forlængning – Visualisering af brøker

https://ggbm.at/MmEsW2AN

Addition af brøker

ggbm.at/C788kuD9

Subtraktion af brøker

ggbm.at/jMYZBcBw

Division af brøker

ggbm.at/GN37vQgf 

Multiplikation af brøker

ggbm.at/espXUsay

Noter til øvelserne 9-12

Øvelse 9

1.  
2.   –  = 
3. a<2
4. Ved at gange den anden brøk (2) med den første brøks (1) nævner, så finder man, hvor stor tælleren ved den første brøk (1) maksimalt må være. Hvis værdien af den anden (2)  brøk multipliceret med den første brøks (1) nævner giver et mindre tal end tælleren hos den første brøk (1), så er den første brøk (1) størst.
5. Det kan vises ved at sætte tal ind i stedet for a,b,c og d, men det kan også vises algebraisk. Husk at man kan forlænge eller forkorte med samme tal i både tæller og nævner – uden at brøken ændres. Det udnytter vi herunder:
   
       (forlænger)
6. Det kan vises ved at sætte tal ind i stedet for a,b,c og d, men det kan også vises algebraisk.
   Det sidste var givet at være sandt, så derfor er også det ensbetydende udsagn  sandt.
   Tilsvarende bevises 
7. Brug fx formlen fra øvelse 9, pkt. 6 til at finde en brøk mellem 1/7 og 1/8.

Øvelse 10

Øvelsen kunne også løses i CAS.

Øvelse 11

Forklaringsøvelse.

Hvilken repræsentation af stykket  vil du foretrække? Brug nedenstående til at forklare ud fra.

1. Pizza
   
2. Rektangel
   
3. Lakridsstang
   

Den kan evt. diskuteres ud fra ggbm.at/C788kuD9.

Øvelse 12

Addition af brøker

Her bruger vi det, at vi kan forlænge brøker. Ved at forlænge den første brøk med d og den anden med b, så skaber vi en fællesnævner. Dermed kan vi blot lægge tællerne sammen og beholder fællesnævneren.

Subtraktion af brøker

Besøge biblioteket

Vi skal besøge biblioteket og kigge på bogsystemerne. Vi laver en fælles opsamling der.

Opgaven er, at I

• finder opgaver i bøgerne fra 4 – 9/10 klasse.
• forholder jer til de opgavetyper, I finder.
• sammenligner forskellige bogsystemer på samme årgang.
• undersøger, hvordan opgaverne stemmer overens med de mål, som FFM stiller op.

Hjælp

Her kan du finde nogle forklaringer på, hvordan man kan arbejde med brøker. Det skal ikke så selv, men blot ses, som en måde at gøre det på. Måske kan det hjælpe jer, hvis I sidder lidt fast.

www.youtube.com/user/iundervisningdk

Gode links

www.random.org/playing-cards

www.random.org/#numbers

Forberedelse til dag 1 uge 39

Til næste gang er forberedelsen:

• Genlæs ‘Indledende brøkregning’ (s. 100-101)
• Læs ‘Videregående regning med brøker’ (s. 103-107.
• Lav øvelserne 13-18

Litteratur